Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤2；
（2）若對任意的x∈R，恒有f（x）≥2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）≤2的解集．
（2）由絕對值的意義求得f（x）的最小值為|a-1|，可得|a-1|≥2，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=2，不等式f（x）≤2，即|x-1|+|x-2|≤2．
而|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應點到1、2對應點的距離之和，
而2.5和1.5對應點到1、2對應點的距離之和正好等于2，
故不等式f（x）≤2的解集為[1.5，2.5]．
（2）由于函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|表示數(shù)軸上的x對應點到1、a對應點的距離之和，
它的最小值為|a-1|，∴|a-1|≥2，
可得a-1≥2 或a-1≤-2，求得a≥3 或a≤-1．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．