Question

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若滿足條件：存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?/span>，則稱為“不動(dòng)函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)是“不動(dòng)函數(shù)”；

（2）若函數(shù)是“不動(dòng)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）可判斷在上單調(diào)遞增，取，得出；取，得出．即在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，即得出是“不動(dòng)函數(shù)”；

（2）可判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)是“不動(dòng)函數(shù)”可得出，存在使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>．從而得出方程在上至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．即在上至少有2個(gè)解，等價(jià)于和的圖像至少有2個(gè)交點(diǎn)，研究函數(shù)圖像即可求出的取值范圍．

（1）要證：存在區(qū)間使得在上的值域?yàn)?/span>，

又由于在是一個(gè)單調(diào)遞増的函數(shù)，

故只需證存在實(shí)數(shù)，滿足，且有

觀察得，，

即存在，符合題意，

故函數(shù)是“不動(dòng)函數(shù)”.

（2）由題，定義域?yàn)?/span>，即存在實(shí)數(shù)，滿足，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，

由于在定義域上單調(diào)遞増，從而有，

該方程組等價(jià)于方程在有至少2個(gè)解，

即在上至少有2個(gè)解，

即和的圖像至少有2個(gè)交點(diǎn)，

記，則，且，從而有，

記，配方得，

又，作出的圖像可知，時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，

綜上，的取值范圍為.