Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=4a₁，則

1

m

+

1

n

的最小值為（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  5

  3

• C、

  25

  6

• D、不存在

Answer 1

分析：把所給的數(shù)列的三項(xiàng)之間的關(guān)系，寫出用第五項(xiàng)和公比來表示的形式，求出公比的值，整理所給的條件，寫出m，n之間的關(guān)系，用基本不等式得到最小值．

解答：解：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=4a₁，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴q^m+n-2=16，
∴m+n=6
∴

1

m

+

1

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

1

n

）=

1

6

(2+

n

m

+

m

n

)≥

1

6

(2+2)=

2

3

故選A

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和基本不等式，實(shí)際上應(yīng)用基本不等式是本題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，注意當(dāng)兩個(gè)數(shù)字的和是定值，要求兩個(gè)變量的倒數(shù)之和的最小值時(shí)，要乘以兩個(gè)數(shù)字之和．