Question

已知函數(shù)f（x）=+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)可得
∴f′（1）=-2+a
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，
∴-2+a=-1
∴a=1
∴
令f′（x）＞0，可得x＞2；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜2
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）；
（Ⅱ）對(duì)于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，即f（x）_min＞2（a-1）成立
（a＞0）
令f′（x）＞0，可得；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，）；
∴x=時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值
∴f（）＞2（a-1）
∴
∴
∴a的取值范圍為．
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求出a的值，從而可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，即f（x）_min＞2（a-1）成立，求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可建立不等式，由此可求a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的最值．