Question

設函數(shù)f（x）=log

2

x，若數(shù)列：2，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），2m+4為等差數(shù)列，m∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{f（x_n）}（1≤n≤m，m、n∈N^*）的通項公式；
（Ⅱ求數(shù)列{x_n}（1≤n≤m，m、n∈N^*）的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用對數(shù)的運算法則可得x_n=2¹⁺ⁿ．再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵數(shù)列：2，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），2m+4為等差數(shù)列，m∈N^*．
∴2m+4=2+（m+1）d，解得d=2．
∴f（x_n）=2+nd=2+2n．（1≤n≤m，m、n∈N^*）．
（II）∵函數(shù)f（x）=log

2

x，
∴log

2

xn=2+2n，∴x_n=2¹⁺ⁿ．
∴S_n=

4(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺²-4，（1≤n≤m，m、n∈N^*）．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、對數(shù)運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．