精英家教網如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的動點，當
PD
•
PA
最小時，tan∠APD的值為
 
．
分析：由余弦定理可得 1=AP2+DP2-2
PD
•
PA
，即
PD
•
PA
=
AP2 +DP2-1
2
，利用基本不等式可得當
PD
•
PA
最小時，點P是AD的中垂線和BC的交點，tan
∠APD
2
=
1
2
3
=
1
6
，利用倍角的正切公式求得tan∠APD  的值．
解答：解：∵
PD
•
PA
=PD•PA cos∠APD，△PDA中，由余弦定理可得
1=AP2+DP2-2AP•DPcos∠APD=AP2+DP2-2
PD
•
PA
，
∴
PD
•
PA
=
AP2 +DP2-1
2
≥
2AP•DP-1
2
，當且僅當AP=DP 時，等號成立．
故當
PD
•
PA
最小時，點P是AD的中垂線和BC的交點，tan
∠APD
2
=
1
2
3
=
1
6
，
∴tan∠APD=
2tan
∠APD
2
1-tan2
∠APD
2
=
2
6
1-(
1
6
)2
=
12
35
，
故答案為：
12
35
．
點評：本題考查余弦定理，基本不等式，二倍角的正切公式的應用，求出tan
∠APD
2
 的值，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=
12
AB，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°．
（1）求證：DE⊥PC；
（2）求直線PD與平面BCDE所成角的大�。�
（3）求點D到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點，AB=BC=1，PA=AD=2．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求證：CD⊥平面PAC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=
12
AB=a，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°
（1）求證：DE⊥PC；
（2）求點D到平面PBC的距離；
（3）求二面角D-PC-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，E，F(xiàn)是AB邊的四等分點，AB=4，BC=BF=AE=1，AD=3，P為在梯形區(qū)域內一動點，滿足PE+PF=AB，記動點P的軌跡為Γ．
（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，求軌跡Γ在該坐標系中的方程；
（2）判斷軌跡Γ與線段DC是否有交點，若有交點，求出交點位置；若沒有交點，請說明理由；
（3）證明D，E，F(xiàn)，C四點共圓，并求出該圓的方程．

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