如圖,梯形ABCD中,CD∥AB,AD=DC=CB=
12
AB=a
,E是AB的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使點(diǎn)A折到點(diǎn)P的位置,且二面角P-DE-C的大小為120°
(1)求證:DE⊥PC;
(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離;
(3)求二面角D-PC-B的大。
分析:(1)四邊形ADCE是菱形,連接AC交DE于F,連接PF,則DE⊥AC,DE⊥PF,AC∩PF=F,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,DE⊥平面PFC,又PC?平面PFC,則DE⊥PC.
(2)利用線面平行進(jìn)而把點(diǎn)D轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到面得距離,在利用面面垂直得到垂足的位置,然后在三角形中解出所求線段的長度.
(3)利用二面角的平面角定義找到二面角的平面角,然后在Rt△DHO中解出二面角的大小即可;
解答:解:(1)連接EC,
∵E是AB的中點(diǎn),∴BE=
1
2
AB
,
又∵CD∥AB,DC=
1
2
AB
,∴DC∥EB且DC=EB
∴CD∥AE且CD=AE,
∴四邊形ADCE為平行四邊形,
又AD=DC,∴四邊形ADCE是菱形.
連接AC交DE于F,連接PF,
則DE⊥AC,DE⊥PF,
∵AC∩PF=F,∴DE⊥平面PFC.
又∵PC?平面PFC,∴DE⊥PC.
( 2)∵DE∥BC,DE在平面PBC外,
∴DE∥面PBC,∴D點(diǎn)到面PBC的距離即為點(diǎn)F到面PBC的距離,過點(diǎn)F作FG⊥PC,垂足為G,
∵DE⊥面PCF,∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF,∴FG⊥面PBC,
∴FG的長即為點(diǎn)F到面PBC的距離,菱形ADCE中,AF=FC,
PF=CF=
3
2
a
,∵∠PFC=120°,∴∠FPC=∠FCP=30°,
FG=
1
2
PF=
3
4
a

(3)取PB的中點(diǎn)G,連HG,可知∠DHG為所求二面角,DO=HG=
1
2
a
DH=
7
4
a
,
在直角三角形DHO中,sin∠DHO=
DO
DH
=
2
7
7
,又因?yàn)镚H⊥面POC,
∴GH⊥OH∠DHG=∠DHO+∠GHO=
π
2
+arcsin
2
7
7
.        
(或∠DHG=π-arctan
3
2
=π-arccos
2
7
7
).
點(diǎn)評:本題考查直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角的求法,考查學(xué)生空間想象能力,邏輯思維能力,把要求的點(diǎn)到面得距離轉(zhuǎn)化為易求的點(diǎn)到面得距離,并利用面面垂直找到點(diǎn)在面內(nèi)的垂足的位置,此外還考查了學(xué)生利用反三角函數(shù)的知識表示角的大。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,梯形ABCD中,CD∥AB,AD=DC=CB=
12
AB,E是AB的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使點(diǎn)A折到點(diǎn)P的位置,且二面角P-DE-C的大小為120°.
(1)求證:DE⊥PC;
(2)求直線PD與平面BCDE所成角的大。
(3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,PA⊥平面ABCD,E是PD的中點(diǎn),AB=BC=1,PA=AD=2.
(1)求證:CE∥平面PAB;
(2)求證:CD⊥平面PAC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P是BC上的動點(diǎn),當(dāng)
PD
PA
最小時,tan∠APD的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AD∥BC,E,F(xiàn)是AB邊的四等分點(diǎn),AB=4,BC=BF=AE=1,AD=3,P為在梯形區(qū)域內(nèi)一動點(diǎn),滿足PE+PF=AB,記動點(diǎn)P的軌跡為Γ.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求軌跡Γ在該坐標(biāo)系中的方程;
(2)判斷軌跡Γ與線段DC是否有交點(diǎn),若有交點(diǎn),求出交點(diǎn)位置;若沒有交點(diǎn),請說明理由;
(3)證明D,E,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,并求出該圓的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案