Question

4．某市規(guī)定，高中學(xué)生三年在校期間參加不少于80小時的社區(qū)服務(wù)才合格．教育部門在全市隨機抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù)，并估計從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率；
（2）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3位學(xué)生，記ξ為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的人數(shù)．試求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）先求出符合條件的學(xué)生的人數(shù)，從而求出參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率估計；
（2）隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，代入公式求出相對應(yīng)的概率，列出隨機變量ξ的分布列，從而求出期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)時間在時間段[90，95）小時的學(xué)生人數(shù)為60（人），
參加社區(qū)服務(wù)時間在時間段[95，100]小時的學(xué)生人數(shù)為20先求出（人）．
所以抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù)為80人．
所以從全市高中學(xué)生中任意選取一人，
其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率估計為$P=\frac{60+20}{200}=\frac{80}{200}=\frac{2}{5}$．
（2）由（Ⅰ）可知，從全市高中生中任意選取1人，
其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率為$\frac{2}{5}$．
由已知得，隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3．
所以$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^0}•{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$；
$P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^1}•{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{54}{125}$；
$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{2}{5}）^2}•{（\frac{3}{5}）^1}=\frac{36}{125}$；
$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}•{（\frac{3}{5}）^0}=\frac{8}{125}$．
隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

因為ξ～$B（3，\frac{2}{5}）$，所以$Eξ=np=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望值，是一道中檔題．