如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分別是CC1,BC的中點,點P在直線A1B1上,且
A1P
A1B1

(Ⅰ)證明:無論λ取何值,總有AM⊥PN;
(Ⅱ)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角取最大值時的正切值;
(Ⅲ)是否存在點P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°,若存在,試確定點P的位置,若不存在,請說明理由.
分析:(1)以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A-xyz,求出各點的坐標及對應向量的坐標,易判斷
AM
PN
=0
,即AM⊥PN;
(2)設出平面ABC的一個法向量,表達出sinθ,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關系,求出滿足條件的λ值,進而求出此時θ的正切值;
(3)假設存在,利用平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°,則平面PMN與平面ABC法向量的夾角為30°,代入向量夾角公式,可以構(gòu)造一個關于λ的方程,研究方程根的情況,即可得到結(jié)論.
解答:(1)證明:如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,則A1(0,0,1),
B1(1,0,1),M(0,1,
1
2
),N(
1
2
,
1
2
,0)
A1P
A1B1
=λ(1,0,0)=(λ,0,0)
AP
=
AA1
+
A1P
=(λ,0,1)
PN
=(
1
2
-λ,
1
2
,-1)

(1)解:∵
AM
=(0,1,
1
2
)
,∴
AM
PN
=0+
1
2
-
1
2
=0

∴無論λ取何值,AM⊥PN…(4分)
(2)解:∵
m
=(0,0,1)是平面ABC的一個法向量.
∴sinθ=|cos<
m
PN
|=
|0+0-1|
(
1
2
-λ)
2
+
1
4
+1
=
1
(λ-
1
2
)
2
+
5
4

而θ∈[0,
π
2
],當θ最大時,sinθ最大,tanθ最大,θ=
π
2
除外,
∴當λ=
1
2
時,θ取得最大值,此時sinθ=
4
5
,cosθ=
1
5
,tanθ=2  …(8分)
(3)假設存在,則
NM
=(-
1
2
,
1
2
,
1
2
)
,設
n
=(x,y,z)
是平面PMN的一個法向量.
-
1
2
x+
1
2
y+
1
2
z=0
(
1
2
-λ)x+
1
2
y-z=0
y=
1+2λ
3
x
z=
2-2λ
3
x
令x=3,得y=1+2λ,z=2-2λ
n
=(3,1+2λ,2-2λ)

∴|cos<
m
,
n
>|=
|2-2λ|
9+(1+2λ)2+(2-2λ)2
=
3
2
化簡得4λ2+10λ+13=0(*)
∵△=100-4×4×13=-108<0
∴方程(*)無解
∴不存在點P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°…(13分)
點評:利用向量知識解決立體幾何問題的優(yōu)點在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何,解題的關鍵在于用坐標表示空間向量,熟練掌握向量夾角公式.
練習冊系列答案
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2
,M,N分別是棱CC1,AB中點.
(Ⅰ)求證:CN⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求證:CN∥平面AMB1;
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CG
|的值為( 。

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(2)若AB=
2
,AA1=2
3
,求AC1與平面ABC所成的角.

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