精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,AB=2
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,M,N分別是棱CC1,AB中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:CN⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求證:CN∥平面AMB1
(Ⅲ)求三棱錐B1-AMN的體積.
分析:(Ⅰ)由題可得AA1⊥CN且CN⊥AB又因?yàn)锳A1∩AB=A所以CN⊥平面ABB1A1.
(Ⅱ)由題意得CM∥NG,CM=NG所以四邊形CNGM是平行四邊形,所以CN∥MG.又因?yàn)镃N?平面AMB1,GM?平面AMB1,所以CN∥平面AMB1
(Ⅲ)VB1-AMN=VM-AB1N所以先求△AB1N的面積,由(Ⅱ)知GM⊥平面AB1N,三棱錐的高是GM,所以根據(jù)三棱錐的體積公式可得體積為
4
3
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)證明:因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC
又因?yàn)镃N?平面ABC,所以AA1⊥CN.
因?yàn)锳C=BC=2,N是AB中點(diǎn),
所以CN⊥AB.
因?yàn)锳A1∩AB=A,
所以CN⊥平面ABB1A1
(Ⅱ)證明:取AB1的中點(diǎn)G,連接MG,NG,
因?yàn)镹,G分別是棱AB,AB1中點(diǎn),
所以NG∥BB1,NG=
1
2
BB1

又因?yàn)镃M∥BB1CM=
1
2
BB1
,
所以CM∥NG,CM=NG.
所以四邊形CNGM是平行四邊形.
所以CN∥MG.
因?yàn)镃N?平面AMB1,GM?平面AMB1,
所以CN∥平面AMB1
(Ⅲ)由(Ⅱ)知GM⊥平面AB1N.
所以VB1-AMN=VM-AB1N=
1
3
×
1
2
×
2
×4×
2
=
4
3

故答案為:
4
3
點(diǎn)評(píng):證明線面垂直關(guān)鍵是證明已知直線與面內(nèi)的兩條相交直線都垂直即可,證明線面平行關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行;求三棱錐的體積時(shí)若不易求出一般是先觀察一下是否換一個(gè)底面積與高都容易求的定點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC,M是CC1的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且滿足
A1P
A1B1

(1)證明:PN⊥AM;
(2)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角最大值的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分別是CC1,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且
A1P
A1B1
;
(Ⅰ)證明:無(wú)論λ取何值,總有AM⊥PN;
(Ⅱ)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角取最大值時(shí)的正切值;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°,若存在,試確定點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2,且A1A⊥底面ABC,D為AB的中點(diǎn),G為△ABC1的重心,則|
CG
|的值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn).
(1)求證:BD⊥AC1;
(2)若AB=
2
,AA1=2
3
,求AC1與平面ABC所成的角.

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