Question

在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，半徑為2的圓C的圓心的極坐標(biāo)為（2，

π

2

）．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立的直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t為參數(shù)），直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，已知定點(diǎn)M（1，-2），求|MA|•|MB|．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）先求出圓心C的直角坐標(biāo)，再根據(jù)半徑為2，可得圓C的直角坐標(biāo)方程，再把它化為極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入原C的方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理可得 t₁•t₂=3+4

3

，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義可得|MA|•|MB|=|t₁•t₂|的值．

解答： 解：（Ⅰ）圓心C的直角坐標(biāo)為（0，2），再根據(jù)半徑為2，可得圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=4，
再把它化為極坐標(biāo)方程為 ρ=4sinθ．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程

x=1+ 1 2 t y=-2+ 3 2 t

 代入原C的方程化簡(jiǎn)可得t²-（3+2

3

）t+3+4

3

=0．
再利用韋達(dá)定理可得 t₁•t₂=3+4

3

，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義可得|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=3+4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，韋達(dá)定理、直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．