Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E為對(duì)角線BD中點(diǎn)．現(xiàn)將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如圖2．

（Ⅰ）若點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）證明：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由三角形中位線定理得EF∥CD，由此能證明EF∥平面PCD．
（Ⅱ） 由已知條件推導(dǎo)出平面PBD⊥平面BCD，由此得到CD⊥PB，從而推導(dǎo)出PB⊥平面PCD，由此能證明平面PBC⊥平面PCD．

解答： 解：（Ⅰ）在△BCD中，點(diǎn)E、F分別為BD、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥CD…（2分）
又EF?平面PCDCD?平面PCD
∴EF∥平面PCD．…（4分）
（Ⅱ） 在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴CD⊥BD，…（6分）
∵平面PBD⊥平面BCD，
且平面PBD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面PBD…（7分）
∴CD⊥PB…（9分）
∵PB⊥PD  PD∩CD=D
∴PB⊥平面PCD…（10分）
又PB?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．