Question

已知函數(shù)f（x）=2（2cos²ωx-1）sin2ωx+cos（4ωx+

π

6

），ω∈（0，1），且函數(shù)有一個最高點（

π

6

，1）．
（1）求實數(shù)ω的值和函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[

π

12

，

5π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)：f（x）=sin（4ωx+

π

3

），然后，結(jié)合最高點（

π

6

，1），從而確定
ω=

1

4

，從而求解；
（2）直接利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解．

解答： 解：（1）f（x）=2（2cos²ωx-1）sin2ωx+cos（4ωx+

π

6

）
=2cosωxsin2ωx+

3

2

cos4ωx-

1

2

sin4ωx
=sin4ωx+

3

2

cos4ωx-

1

2

sin4ωx
=

1

2

sin4ωx+

3

2

cos4ωx
=sin（4ωx+

π

3

），
∴f（x）=sin（4ωx+

π

3

），
∵函數(shù)有一個最高點（

π

6

，1），
∴4ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴ω=

1

4

+3k，k∈Z，
∵ω∈（0，1），
∴ω=

1

4

，
∴f（x）=sin（x+

π

3

），
∴T=

2π

1

=2π，
∴f（x）的最小正周期2π；
（2）∵x∈[

π

12

，

5π

6

]，
∴x+

π

3

∈[

5π

12

，

7π

6

]，
∴sin（x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）在[

π

12

，

5π

6

]上的最大值1和最小值-

1

2

．

點評：本題重點考查了三角公式、三角恒等變換公式、二倍角公式、周期公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．