【題目】在圓內有一點,為圓上一動點,線段的垂直平分線與的連線交于點

(Ⅰ)求點的軌跡方程.

(Ⅱ)若動直線與點的軌跡交于兩點,且以為直徑的圓恒過坐標原點.問是否存在一個定圓與動直線總相切.若存在,求出該定圓的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在定圓總與直線相切

【解析】

由點在線段的上,結合垂直平分線的性質可得,從而由橢圓的定義可得結果;直線斜率不存在時,原點到直線的距離為,直線斜率存在時,可設直線的方程為,解消去得方程:,利用向量垂直數(shù)量積為零,結合韋達定理可得,由點點直線距離公式可得原點到直線的距離,進而可得結果.

(Ⅰ)圓的圓心為,半徑為

在線段的垂直平分線上

在線段的上

由橢圓的定義可知點的軌跡是以,為焦點,長軸長為的橢圓,

,故點的軌跡方程為

(Ⅱ)假設存在這樣的圓.設, .

由已知,以為直徑的圓恒過原點,即,所以.

當直線垂直于軸時, , ,所以,又,解得

不妨設, , ,即直線的方程為,此時原點到直線的距離為.

當直線的斜率存在時,可設直線的方程為,解消去得方程: 因為直線與橢圓交于, 兩點,所以方程的判別式

,且 .

,得 ,

所以整理得(滿足).

所以原點到直線的距離.

綜上所述,原點到直線的距離為定值,即存在定圓總與直線相切.

練習冊系列答案
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,則獎勵玩具一個;

,則獎勵水杯一個;

其余情況獎勵飲料一瓶.

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A. B. C. D.

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時間

第4天

第32天

第60天

第90天

價格(千元)

23

30

22

7

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