Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若時，函數(shù)的圖像恒在直線上方，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先由題意得到當(dāng)時，恒成立，即恒成立，再令，，用導(dǎo)函數(shù)方法研究其單調(diào)性，得到其最值，即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，結(jié)合（1）的結(jié)果，即可證明結(jié)論成立.

（1）當(dāng)時，函數(shù)的圖像恒在直線上方，

等價于當(dāng)時，恒成立，

即恒成立，

令，，則

當(dāng)時，，故在上遞增，

當(dāng)時，，故在上遞減，

∴為在區(qū)間上的極小值，僅有個極值點故為最小值，

∴時，

所以實數(shù)的取值范圍是 ；

（2）證明：

①當(dāng)時，由，知成立；

②假設(shè)當(dāng)時命題成立，即

那么，當(dāng)時，

下面利用分析法證明：

要證上式成立，只需證：

只需證：

令，只需證：，

只需證：，

由（1）知當(dāng)時，恒成立.

所以，當(dāng)時，也成立，

由①②可知，原不等式成立.