Question

11．（1）解不等式2|x-2|-|x+1|＞3；
（2）設(shè)正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc=a+b+c，求證：ab+4bc+9ac≥36，并給出等號(hào)成立條件．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）先由題意證得$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$=1，再由柯西不等式證得所給的不等式成立．

解答 解：（1）由不等式2|x-2|-|x+1|＞3可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{4-2x-（-x-1）＞3}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{4-2x-（x+1）＞3}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x-4-（x+1）＞3}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得 x＞8，
綜上可得，原不等式的解集為{x|x＜0或 x＞8}．
（2）證明：∵正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc=a+b+c，∴$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$=1，
再由柯西不等式可得（ab+4bc+9ac）（$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$ ）≥（1+2+3）²=36，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2、b=3、c=1時(shí)，取等號(hào)，
故ab+4bc+9ac≥36成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來(lái)解．還考查了柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．