Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求圓，的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)，分別為，上的點(diǎn)，若為等邊三角形，求.

Answer 1

【答案】（1）C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ（2）．

【解析】

（1）由直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化即可求解；（2）設(shè)A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜，由ρA＝2cosθ=ρB＝－4cos(θ＋)，得tanθ，則可求ρA

（1）依題意可得，圓C1：(x－1)2＋y2＝1；圓C2：(x＋2)2＋y2＝4．

所以C1：x2＋y2＝2x；C2：x2＋y2＝－4x，

因?yàn)?/span>x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，

所以C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ．

（2）因?yàn)?/span>C1，C2都關(guān)于x軸對(duì)稱，△OAB為等邊三角形，

所以不妨設(shè)A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜．

依題意可得，ρA＝2cosθ，ρB＝－4cos(θ＋)．

從而2cosθ＝－4cos(θ＋)，

整理得，2cosθ＝sinθ，所以tanθ＝，

又因?yàn)?/span>0＜θ＜，所以cosθ＝，

|AB|＝|OA|＝ρA＝．