Question

已知函數f（x）=x+1，點（n+1，

an+1

an

）（n∈N⁺）在y=f^-1（x）上，且a₁=a₂=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n=

a1

2!

+

a2

3!

+…+

an

(n+1)!

，若S_n＞m恒成立，求常數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由函數y=x+1，解得x=y-1，把x與y互換可得y=f^-1（x）=x-1，因此

an+1

an

=n，利用“累乘求積”即可得出；
（2）由（1）可得S_n=

1

2

+

1

6

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

，利用“裂項求和”、數列的單調性即可得出．

解答： 解：（1）由函數y=x+1，解得x=y-1，把x與y互換可得y=x-1，∴y=f^-1（x）=x-1，
∴

an+1

an

=n+1-1=n，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an

•…

a3

a2

•a2=（n-1）!，
當n=1時也成立，
∴a_n=（n-1）!．
（2）由（1）可得S_n=

a1

2!

+

a2

3!

+…+

an

(n+1)!

=

1

2

+

1

6

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)，
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∵S_n＞m恒成立，
∴m＜(

m

m+1

)min，
∴m＜

1

2

．
∴常數m的取值范圍是m＜

1

2

．

點評：本題考查了“累乘求積”、“裂項求和”、反函數的求法，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．