Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）證明：函數(shù)f（x）既是R上的奇函數(shù)，也是R上的增函數(shù)；
（2）是否存在m使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）對(duì)任意t∈[0，1]均成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)增函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的定義證明
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）既是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可轉(zhuǎn)化為f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，
法一：令g（t）=2t^2_-2t+4m-4，t∈[0，1]，只需g（t）min＞0即可
法二：分離參數(shù)m，即m＞-

1

2

(t2-t-2)，t∈[0，1]令g（t）=-

1

2

(t2-t-2)，只需m＞g（t）max即可．

解答：解：（1）顯然函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x∈R，都有f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)•2x

(2-x+1)•2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）
所以函數(shù)f（x）既是R上的奇函數(shù)．
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x1-1)(2x2+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

x₁x₂，∵函數(shù)y=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1+1＞0，2x2+1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0．即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）法一：由（1）知，函數(shù)f（x）既是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可轉(zhuǎn)化為f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，令g（t）=2t^2_-2t+4m-4，t∈[0，1]，拋物線(xiàn)g（t）=2t^2_-2t+4m-4的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是t=

1

2

，且

1

2

∈[0，1]，所以g（t）min=g（

1

2

）=4m-

9

2

，故只需4m-

9

2

，＞0即可，解得m＞

9

8

．
法二：由（1）知，函數(shù)f（x）既是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）可轉(zhuǎn)化為f（2t²-4）＞-f（4m-2t），即f（2t²-4）＞f（2t-4m），
又函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，∴2t²-4＞2t-4m，即2t²-4-2t+4m＞0，即m＞-

1

2

(t2-t-2)，t∈[0，1]令g（t）=-

1

2

(t2-t-2)，拋物線(xiàn)g（t）=-

1

2

(t2-t-2)，的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是t=

1

2

，且

1

2

∈[0，1]，所以g（t）max=g（

1

2

）=

9

8

，故只需m＞

9

8

．
存在m＞

9

8

．使f（2t²-4）+f（4m-2t）＞f（0）對(duì)任意t∈[0，1]均成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，二次函數(shù)的最值鞥基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程，劃歸與轉(zhuǎn)化，分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括、推理論證和運(yùn)算求解能力．