【題目】已知函數(shù).

1)討論的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性;

2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明.

【答案】(1)上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增;

2)見(jiàn)解析.

【解析】

1)求出,令,對(duì),討論來(lái)求的單調(diào)性;

2)將有兩個(gè)極值點(diǎn),轉(zhuǎn)化為有兩解,繼續(xù)轉(zhuǎn)化為有兩解,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)為其極小值,可得,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍;另外要證明,不妨設(shè),則,由(1)根據(jù)的單調(diào)性得,通過(guò)變形,轉(zhuǎn)化為證明,進(jìn)一步變形證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值即可證明.

1)由題意,得.

設(shè),則.

①當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí),由,得.

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞增.

2)由于有兩個(gè)極值點(diǎn),,即上有兩解,

,顯然,故等價(jià)于有兩解,,

設(shè),則

當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞減,

,時(shí),時(shí),;

當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞減,且時(shí),;

當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞增,且時(shí),,

所以的極小值,有兩解,等價(jià)于,得.

不妨設(shè),則.

據(jù)(1上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

,

由于,且,則

所以,

,,

欲證明:,等價(jià)于證明:,

即證明:,只要證明:,

因?yàn)?/span>上單調(diào)遞減,

所以只要證明:,

由于,所以只要證明:,

即證明:

設(shè),據(jù)(1,

所以上單調(diào)遞增,

所以,

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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x

1

2

3

4

5

y(萬(wàn)人)

20

50

100

150

180

1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)到哪一年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人;

2)該公司為了吸引網(wǎng)購(gòu)者,特別推出玩網(wǎng)絡(luò)游戲,送免費(fèi)購(gòu)物券活動(dòng),網(wǎng)購(gòu)者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果,操控微型遙控車(chē)在方格圖上行進(jìn). 若遙控車(chē)最終停在勝利大本營(yíng),則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券500元;若遙控車(chē)最終停在失敗大本營(yíng),則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券200. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、、第20格。遙控車(chē)開(kāi)始在第0格,網(wǎng)購(gòu)者每拋擲一次骰子,遙控車(chē)向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù),遙控車(chē)向前移動(dòng)一格(從)若擲出偶數(shù)遙控車(chē)向前移動(dòng)兩格(從),直到遙控車(chē)移到第19格勝利大本營(yíng))或第20格(失敗大本營(yíng))時(shí),游戲結(jié)束。設(shè)遙控車(chē)移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券金額的期望值.

附:在線性回歸方程中,.

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1)求函數(shù)的值域;

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3)請(qǐng)敘述余弦定理(寫(xiě)出其中一個(gè)式子即可)并加以證明.

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