Question

【題目】設(shè)函數(shù)，函數(shù)，，其中為常數(shù)，且，令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù).

（1）求函數(shù)的表達式，并求其定義域；

（2）當時，求函數(shù)的值域

（3）是否存在自然數(shù)，使得函數(shù)的值域恰好為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)所構(gòu)成的集合；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）定義域為；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意得的，再計算定義域得到答案.

（2）設(shè)，化簡得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到值域.

（3）計算當時，且時，根據(jù)單調(diào)性得到不等式，計算得到答案.

（1），定義域為

（2），設(shè)

根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在單調(diào)遞增，故，故值域為

（3）存在；根據(jù)（2）知，，

根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.

當時，且時，函數(shù)的值域恰好為

故，構(gòu)成的集合為