Question

6．函數(shù)f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c為非零常數(shù)）的圖象過(guò)原點(diǎn)，且對(duì)任意x∈R，總有f（x）≥f（$\frac{π}{3}$）成立．
（1）若f（x）的最小值等于-1，求f（x）的解析式．
（2）試求f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）圖象過(guò)原點(diǎn)可得f（0）=0，由對(duì)任意x∈R總有f（x）≥f（$\frac{π}{3}$）及最小值為-1得f（$\frac{π}{3}$）=-1，且有f′（$\frac{π}{3}$）=0，聯(lián)立方程組可解；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=1-2sin（x+$\frac{π}{6}$），由x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得值域．

解答 解：（1）由題意，得 $\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{f（0）=b+c=0}{f（\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{2}+c=-1}}\\{f′（\frac{π}{3}）=\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{3}b}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得a=-$\sqrt{3}$，b=-1，c=1，
∴f（x）=-$\sqrt{3}$sinx-cosx+1．
（2）由（1）可知，f（x）=-$\sqrt{3}$sinx-cosx+1=1-2sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\sqrt{3}$，2]，
∴f（x）=1-2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于基本知識(shí)的考查．