Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx．

（1）若y＝f（x）在x＝2處的切線與y垂直，求a的值；

（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

（1）f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，+∞），令f'（2）＝0，解得a；

（2），對(duì)a分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

（1）∵f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，+∞），，

∴f'（2）＝0，即．

（2）∵，

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜f（1）＝0矛盾．

②當(dāng)a＞0時(shí)，，

令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得．

（i）當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，f'（x）＜0，即f（x）遞減，

∴f（x）＜f（1）＝0矛盾．

（ii）當(dāng)，即時(shí)，x∈[1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）遞增，

∴f（x）≥f（1）＝0滿足題意．

綜上：．