Question

已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影是H，且

PA

•

PB

=2

PH2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程（6分）
（2）已知過(guò)點(diǎn)B的直線l交曲線C于x軸下方不同的兩點(diǎn)M，N，求直線l的斜率的取值范圍（6分）

Answer 1

解（1）設(shè)P(x，y)，則

PA

=(-2-x，-y)，

PB

=(2-x，-y)，

PH

=（-x，0），
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >

PA

•

PB

=2

PH2

所以得y²-x²=4
（2）①若直線l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，它與曲線C在x軸下方的部分只有一個(gè)交點(diǎn)(2，-2

2

)
②若直線l的斜率為0，則直線l是x軸，它與曲線C無(wú)交點(diǎn)，所以，以上兩種情形與題設(shè)不符．
③設(shè)直線l之方程為y=k （x-2）（k≠0）
聯(lián)立

y=k(x-2) y2-x2=4

消去x得（k²-1）y²-4ky=8k²=0
設(shè)M （x₁，y₁），N （x₂，y₂）
則M，N在x軸下方?

k2-1≠0 16k2-4(k2-1)(-8k2)＞0 4k k2-1 ＜0 -8k2 k2-1 ＞0

解出

2

2

＜k＜1，
∴k∈(

2

2

，1)