多面體ABCDEF中，M、N分別為EC、AB的中點(diǎn)，底面ABCD為菱形，且∠BAD=
60°，ED⊥平面ABCD，ED∥BF，且ED=AD=2BF=2．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）取CD的中點(diǎn)P，連結(jié)MP，PN，證明平面MPN∥平面BCF，可得MN∥平面BCF；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF的法向量、平面CEF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-EF-C的余弦值．
解答： （Ⅰ）證明：取CD的中點(diǎn)P，連結(jié)MP，PN，則MP∥
1
2
ED
∵FB∥
1
2
ED，∴MP∥FB，PN∥BC．
∵M(jìn)P∩PN=P，F(xiàn)B∩BC=B，
∴平面MPN∥平面BCF，
∵M(jìn)N?平面MPN，
∴MN∥平面BCF；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由ED=AD=2BF=2，得E（0，0，2），A（
3
，-1，0）
F（
3
，1，1），C（0，2，0）
∴
EF
=（
3
，1，-1），
EA
=（
3
，-1，-2），
EC
=（0，2，-2），
設(shè)平面AEF的法向量為
m
=（x，y，z），
則
3
x+y-z=0
3
x-y-2z=0
，∴平面AEF的一個(gè)法向量為
m
=（-
3
，1，-2）；
同理，平面CEF的一個(gè)法向量為
n
=（0，1，1），∴cos＜
m
，
n
＞=
0+1-2
2
•
8
=-
1
4
，
∴平面AEF和平面CEF所成二面角的余弦值為-
1
4
．
點(diǎn)評：本題考查線面平行、面面平行，考查面面角，考查向量知識的運(yùn)用，正確運(yùn)用面面平行的判定定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)y=sin（3x+
π
6
）的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
1
2
倍（縱坐標(biāo)不變），則所得圖象的函數(shù)解析式為（　�。�
A、y=sin（
3
2
x+
2π
3
）
B、y=sin（6x+
π
3
）
C、y=sin6x
D、y=sin（6x+
2π
3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F1與中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)重合，且橢圓C過點(diǎn)（1，
2
2
）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F1作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)T是x軸上的一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為2，求|
TA
+
TB
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{xn}，滿足x1=4，xn+1=
xn
2
+
2
xn
，an=lg
xn+2
xn-2

（1）證明：數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=xn-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：Tn＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（
2
，
2
2
），且與雙曲線x2-
y2
2
=1共焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，且記
PM
=λ1
PM
，
PN
=λ2
NF
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；   
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某校50名學(xué)生在一次科普知識競賽中，初賽成績?nèi)拷橛?0與100之間，將初賽成績按如下方式分成四組：第一組[60，70]，第二組[70，80]，…，第四組[90，100]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求成績在[80，90]范圍內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅱ）決賽規(guī)則如下：為每位參加決賽的選手準(zhǔn)備4道判斷題，選手對其依次回答，答對兩道就終止答題，并獲得一等獎(jiǎng)，若題目答完仍然只答對l道，則獲得二等獎(jiǎng)，否則獲得三等獎(jiǎng)．某同學(xué)進(jìn)入決賽，每道題答對的概率p的值恰好與成績不少于80分的頻率值相同．
（i）求該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎(jiǎng)的概率；
（ii）設(shè)該同學(xué)決賽中答題個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF2的周長為4
2
，且△AF1F2面積最大時(shí)，△AF1F2為直角三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=2相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)M（1，0）在以PQ為直徑的圓上；
（3）試問，是否存在x軸上的點(diǎn)T（t，0），使得
TA
•
TB
為定值，若存在，求出T點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四棱錐p-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2
2
，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）求證BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)Q為線段PB上一點(diǎn)，且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為
3
3
，求
PQ
PB
的值．

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同步練習(xí)冊答案