Question

已知數(shù)列{x_n}，滿足x₁=4，x_n+1=

xn

2

+

2

xn

，a_n=lg

xn+2

xn-2

（1）證明：數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）若b_n=x_n-2，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，證明：T_n＜3．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由數(shù)列遞推式x_n+1=

xn

2

+

2

xn

得到

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2，借助于對數(shù)的運算性質(zhì)得到數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，進一步求得數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{x_n}的通項公式代入b_n=x_n-2，求得b_n＞0，結(jié)合

bn+1

bn

＜

1

3

放縮證得T_n＜3．

解答： 證明：（1）由x_n+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

xn

2

+

2

xn

+2=

(xn+2)2

2xn

，
同理xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

．
故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2，從而lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，
即a_n+1=2a_n．
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，
故an=2n-1a1=2n-1lg

x1+2

x1-2

=2^n-1lg3．
即lg

xn+2

xn-2

=2n-1lg3．
從而

xn+2

xn-2

=32n-1，
∴xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

；
（2）由（1）知xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

，
∴bn=xn-2=

4

32n-1-1

＞0，
∴

bn+1

bn

=

32n-1-1

32n-1

=

1

32n-1+1

＜

1

32n-1

≤

1

321-1

=

1

3

．
當n=1時，顯然T₁=b₁=2＜3；
當n＞1時，bn＜

1

3

bn-1＜(

1

3

)2bn-2＜…＜(

1

3

)n-1b1，
∴Tn=b1+b2+…+bn＜b1+

1

3

b1+…+(

1

3

)n-1b1
=

b1[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=3-(

1

3

)n-1＜3．
綜上，T_n＜3．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用放縮法證明數(shù)列不等式，綜合考查了學(xué)生的邏輯思維能力和靈活處理問題的能力，是中高檔題．