Question

18．已知數(shù)列{a_n}對(duì)任意的p，q∈N^*滿足：a_p+q=2a_p+2a_q（p≠q），且a₁=1，a₂=4，那么a_n=-2+3•2^n-1．

Answer 1

分析 當(dāng)n≥3時(shí)，利用a_n=2a_n-1+2整理可知數(shù)列{a_n+2}（n≥2）是以6為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
又∵a₂+2=4+2=6，
∴數(shù)列{a_n+2}（n≥2）是以6為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=6•2^n-2=3•2^n-1，
∴a_n=-2+3•2^n-1（n≥2），
又∵a₁=1滿足上式，
∴a_n=-2+3•2^n-1，
故答案為：-2+3•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．