Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

，且此函數(shù)圖象過點（1，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性？并證明你的結(jié)論．
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將點（1，5）代入f（x）=x+

m

x

求m，再求f（x）的解析式；（2）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥0，利用導(dǎo)數(shù)判斷在[2，+∞）上的單調(diào)性；（3）區(qū)間[2，4]⊆[2，+∞），函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]也單調(diào)遞增，利用單調(diào)性求最值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)圖象過點（1，5）．得1+m=5，解得 m=4；
（2）函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)遞增，證明如下：
由（1）知f（x）=x+

4

x

，f′（x）=1-

4

x2

，
當x∈[2，+∞），即x≥2時，f′（x）=1-

4

x2

≤0，
f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)遞增．
（3）由f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]也單調(diào)遞增，
當x=2時，函數(shù)取得最小值4，當x=4時，函數(shù)取得最大值5．

點評：關(guān)鍵要熟練利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值，