如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP,PC⊥AC.
(Ⅰ)求證:PC⊥AB;
(Ⅱ)設二面角P-AB-C的大小為θ,θ∈[
π
6
,
π
2
)
,求二面角B-AP-C的余弦值的范圍.
分析:(Ⅰ)先 取AB中點D,連接PD,CD;根據(jù)AC=BC以及AP=BP可以得到AB⊥平面PCD進而證得PC⊥AB;
(Ⅱ)先根據(jù)二面角P-AB-C的平面角為∠PDC求出CD=
2
PC=
2
tanθ
,再根據(jù)∠ACB=90°以及PC⊥AB,證得BC⊥平面PAC,作CM⊥PA,連BM,二面角B-AP-C的平面角為∠BMC,通過求三邊的長度,結合角θ的范圍在三角形BMC中即可求出二面角B-AP-C的余弦值的范圍.
解答:(Ⅰ)證明  取AB中點D,連接PD,CD.
∵AP=BP,
∴PD⊥AB.
∵AC=BC,
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD=D,
∴AB⊥平面PCD.
∵PC?平面PCD,
∴PC⊥AB.
(2)解:由(1)知,二面角P-AB-C的平面角為∠PDC,
∵AC=BC=2,∠ACB=90°,
∴CD=
2
,PC=
2
tanθ
,
根據(jù),∠ACB=90°以及PC⊥AB,可得BC⊥平面PAC,作CM⊥PA,連BM,
則二面角B-AP-C的平面角為∠BMC,BC=2,
CM=
PC•AC
PA
=
2tanθ
2+tan2θ
,
∴BM=
CM 2+BC 2
=
4+(
2tanθ
2+tan 2θ
)
2
=
2
2(1+tan2θ)
2+tan 2θ
;
∵θ∈[
π
6
π
2

∴tanθ≥
3
3

cos∠BMC=
2
tanθ
2
tan2θ+1
=
2
2
tan2θ
tan2θ+1
=
2
2
1
1+
1
tan2θ
∈[
2
4
,
2
2
)
點評:本題主要考查線線垂直的證明以及二面角的平面角及求法.解決第二問的關鍵在于先根據(jù)二面角P-AB-C的平面角為∠PDC求出CD=
2
PC=
2
tanθ
,再根據(jù)∠ACB=90°以及PC⊥AB,證得BC⊥平面PAC,作CM⊥PA,連BM,得到二面角B-AP-C的平面角為∠BMC.
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1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實數(shù)a的最小值為
 

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3
,則PA=
1
1

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