Question

9．設(shè)a為非零實數(shù)，偶函數(shù)f（x）=x²+a|x-m|+1，x∈R在區(qū)間（1，2）上只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為-$\frac{5}{2}$＜a＜-2．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)是一個偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義，寫出關(guān)系式得到m的值是0，根據(jù)在區(qū)間（1，2）上存在唯一零點，得到f（1）×f（2）＜0且在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，求出結(jié)果．

解答 解：∵f（x）=x²+a|x-m|+1是偶函數(shù)，
f（-x）=-（x）²+a|-x-m|+1，
f（x）=x ²+a|x-m|+1，
若f（x）=f（-x），
則|x+m|=|x-m|
2xm=-2xm
∴m=0
∴f（x）=x²+a|x|+1，
x∈（1，2），f（x）=x²+ax+1，若其在區(qū)間（1，2）上存在唯一零點
f（1）×f（2）＜0且在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)
∴（2+a）（5+2a）＜0
∴-$\frac{5}{2}$＜a＜-2
故答案為：-$\frac{5}{2}$＜a＜-2．

點評 本題考查函數(shù)的零點的判定定理，本題解題的關(guān)鍵是先寫出符合偶函數(shù)的定義的式子，整理出式子中的字母系數(shù)的值．