Question

20．已知α，β為銳角，cosα=$\frac{1}{7}$，sin（α+β）=$\frac{5}{14}$$\sqrt{3}$，求cosβ的值及β的大�。�

Answer 1

分析 先判斷0＜α+β＜π，求得 sinα，cos（α+β）．再由cosβ=cos[（α+β）-α]求解即可，結合0＜β＜$\frac{π}{2}$，求得β 的值．

解答 解：∵α，β為銳角，∴0＜α+β＜π． …（1分）
∵cosα=$\frac{1}{7}$，sin（α+β）=$\frac{5}{14}$$\sqrt{3}$，
∴sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos（α+β）=±$\frac{11}{14}$． …（4分）
當cos（α+β）=$\frac{11}{14}$時，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{1}{7}$-$\frac{11}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$＜0，矛盾，
∴cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$．…（6分）
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα …（8分）
=-$\frac{11}{14}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$，…（10分）
又0＜β＜$\frac{π}{2}$，∴β=$\frac{π}{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和差的正弦、余弦公式的應用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．