【題目】設函數(shù)f(x)=aexlnx+ ,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處得切線方程為y=e(x﹣1)+2.
(1)求a、b;
(2)證明:f(x)>1.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)= + ,
由題意可得f(1)=2,f′(1)=e,
故a=1,b=2;
(2)證明:由(1)知,f(x)=exlnx+ ,
∵f(x)>1,∴exlnx+ >1,∴l(xiāng)nx> ﹣ ,
∴f(x)>1等價于xlnx>xe﹣x﹣ ,設函數(shù)g(x)=xlnx,則g′(x)=1+lnx,
∴當x∈(0, )時,g′(x)<0;當x∈( ,+∞)時,g′(x)>0.
故g(x)在(0, )上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為g( )=﹣ .
設函數(shù)h(x)=xe﹣x﹣ ,則h′(x)=e﹣x(1﹣x).
∴當x∈(0,1)時,h′(x)>0;當x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,
故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為h(1)=﹣ .
綜上,當x>0時,g(x)>h(x),即f(x)>1
【解析】(1)求出定義域,導數(shù)f′(x),根據(jù)題意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(2)由(1)知,f(x)>1等價于xlnx>xe﹣x﹣ ,設函數(shù)g(x)=xlnx,函數(shù)h(x)= ,只需證明g(x)min>h(x)max , 利用導數(shù)可分別求得g(x)min , h(x)max;
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是.
(Ⅰ)現(xiàn)3人各投籃1次,求3人都沒有投進的概率;
(Ⅱ)用表示乙投籃3次的進球數(shù),求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙人投籃,投進的概率分別是,,.
(1)現(xiàn)人各投籃次,求人至少一人投進的概率;
(2)用表示乙投籃次的進球數(shù),求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望和方差.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:an+2﹣an=λ
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位:)的分組及各組的頻數(shù)如下:
,4; ,8; ,15;
,22; ,25; ,14;
,6; ,4; ,2.
(1)列出樣本的頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖,并根據(jù)直方圖估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);
(3)當?shù)卣贫巳司掠盟繛?/span>的標準,若超出標準加倍收費,當?shù)卣f,以上的居民不超過這個標準,這個解釋對嗎?為什么?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,橢圓: 的離心率是,且直線: 被橢圓截得的弦長為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與圓: 相切:
(i)求圓的標準方程;
(ii)若直線過定點,與橢圓交于不同的兩點、,與圓交于不同的兩點、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨機觀測生產(chǎn)某種零件的某工作廠25名工人的日加工零件個數(shù)(單位:件),獲得數(shù)據(jù)如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[25,30] | 3 | 0.12 |
(30,35] | 5 | 0.20 |
(35,40] | 8 | 0.32 |
(40,45] | n1 | f1 |
(45,50] | n2 | f2 |
(1)確定樣本頻率分布表中n1 , n2 , f1和f2的值;
(2)根據(jù)上述頻率分布表,畫出樣本頻率分布直方圖;
(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖,求在該廠任取4人,至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在空間直角坐標系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, ),若S1 , S2 , S3分別表示三棱錐D﹣ABC在xOy,yOz,zOx坐標平面上的正投影圖形的面積,則( )
A.S1=S2=S3
B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2
D.S3=S2且S3≠S1
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