Question

14．判斷函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex+m的零點個數．

Answer 1

分析 先求導f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x）；從而判斷函數的單調性及極值，從而確定零點的個數．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex+m，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e
=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x）；
則當x∈（0，e）時，f′（x）＞0；
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e）上是增函數，在（e，+∞）上是減函數；
f（e）=$\frac{1}{e}$-e²+2e²+m=e²+$\frac{1}{e}$+m；
故當f（e）＜0，即m＜-（e²+$\frac{1}{e}$）時，函數f（x）沒有零點，
當f（e）=0，即m=-（e²+$\frac{1}{e}$）時，函數f（x）有一個零點e，
當f（e）＞0，即m＞-（e²+$\frac{1}{e}$）時，函數f（x）有兩個零點．

點評 本題考查了導數的綜合應用及函數的零點的個數的判斷．