Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A（-4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF∥AC交BC于F，連接CE，當(dāng)△CEF的面積是△BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）利用△CEF的面積是△BEF面積的2倍，可得CF=2FB．再根據(jù)EF∥AC，可得

AE

EB

=

CF

FB

=

2

1

．即可得出．
（3）由拋物線的方程y=

1

2

x2+

3

2

x-2．令x=0，C（0，-2）．可得直線AC的方程為：

x

-4

+

y

-2

=1．
設(shè)直線PQ的方程為：x=t（-4≤t≤0），由于PQ∥y軸．可得|PQ|=y_Q-y_P．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵拋物線與x軸交于A（-4，0）和B（1，0），
∴

-4+1=- b 1 2 -4×1= c 1 2

，解得b=

3

2

，c=-2．
∴拋物線的方程為y=

1

2

x2+

3

2

x-2．
（2）如圖所示，
∵△CEF的面積是△BEF面積的2倍，
∴CF=2FB，
∵EF∥AC，
∴

AE

EB

=

CF

FB

=

2

1

．
∵A（-4，0），B（1，0）．
∴x_E-（-4）=2（1-x_E），解得x_E=-

2

3

．
∴E(-

2

3

，0)．
（3）由拋物線的方程為y=

1

2

x2+

3

2

x-2．
令x=0，得y=-2．即（0，-2）．
∴直線AC的方程為：

x

-4

+

y

-2

=1，化為x+2y+4=0．
設(shè)直線PQ的方程為：x=t（-4≤t≤0），
∵PQ∥y軸．
∴|PQ|=y_Q-y_P
=(-

1

2

t-2)-(

1

2

t2+

3

2

t-2)
=-

1

2

t2-2t
=-

1

2

(t+2)2+2，
當(dāng)t=-2時(shí)，|PQ|取得最大值2．
此時(shí)y_P=

1

2

×(-2)2+

3

2

×(-2)-2=-3，∴P（-2，-3）．

點(diǎn)評：本題考查了考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、平行線分線段成比例定理、三角形的面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、直線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．