Question

已知函數(shù)f（x）=xsinx．
（1）判斷方程f（x）=1在（0，π）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為a₁，a₂，…a_n…，求證：

π

2

＜an+1-an＜π(n∈N*)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=sinx與g（x）=

1

x

，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系，結(jié)合tanx的圖象，確定a_n…，的關(guān)系即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=xsinx．
∴由f（x）=xsinx=1得sinx=

1

x

，
在坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f（x）=sinx，和g（x）=

1

x

的圖象如圖：
∵y=

1

x

在（0，π）上得到遞減，y=sinx在（0，

π

2

]上遞增，
在（

π

2

，π）上單調(diào)遞減，且當(dāng)x=

π

2

時(shí)，f（

π

2

）=1，g（

π

2

）=

2

π

＜1，
∴f（x）與g（x）在（0，π）上有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=1在（0，π）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2個(gè)．
（2）f′（x）=sinx+xcosx，
由f′（x）=0得sinx=-xcosx，
即x=-tanx，
設(shè)x₀＞0是f′（x）=0的任意正實(shí)根，則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，
使x₀∈（

π

2

+kπ，π+kπ），即x₀在第二或第四象限內(nèi)，
則滿(mǎn)足f′（x）=0的正根x₀都是f（x）的極值點(diǎn)．
設(shè)函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為a₁＜a₂＜…＜a_n…，
∴

π

2

+(n-1)π＜an＜π+(n-1)π，

π

2

+nπ＜an+1＜π+nπ，
則

π

2

＜an+1-an＜

3π

2

，
∵a_n+1-a_n=-（tana_n+1-tana_n）=-（1+tana_n+1•tana_n）tan（a_n+1-a_n），
∵tana_n+1-tana_n＞0，
∴tan（a_n+1-a_n）＜0，
∴a_n+1-a_n必在第二象限，即a_n+1-a_n＜π，
綜上

π

2

＜an+1-an＜π(n∈N*)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，以及函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度較大．