Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=1處有極大值2，試討論f（x）在[0，2]上的單調(diào)性．
（Ⅱ）若f（x）為[-2，2]上的奇函數(shù)，且任意的x∈[-2，2]恒有|f（x）|≤2，求c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x），根據(jù)條件f（x）在x=1處有極大值2，便可得到兩個(gè)等式：f′（1）=0，f（1）=2．這樣便得到關(guān)于a，b，c的兩個(gè)等式，從而能夠找到a，b，c的關(guān)系．告訴了a＞0，所以可以選擇用a來表示b，c．帶入導(dǎo)函數(shù)，然后討論a，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而來討論f（x）在[0，2]上的單調(diào)性．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）為[-2，2]上的奇函數(shù)，便求出b=0，從而使得導(dǎo)函數(shù)中只含a，c．這時(shí)候，討論a取值情況，拿a和0做比較即可．由于f（x）在[-2，2]為奇函數(shù)，所以使f（x）在[-2，2]恒有|f（x）|≤2成立，可變成在[0，2]上|f（x）|≤2即可，這樣便簡化解題過程．下面要做的是討論函數(shù)f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性用a，c表示出f（x）的最大值或最小值，限制最大值小于等于2，最小值大于等于-2，從而得到關(guān)于a，c的不等式，從而求出c的最大值．

解答： 解：（I）f′（x）=3ax²+2bx+c，由于f（x）在x=1處有極大值2，則

f′(1)=0 f(1)=2

，即

3a+2b+c=0 a+b+c=2

，則c=a+4，b=-2-2a，從而f′(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-1)(x-

a+4

3a

)．
由于f（x）在x=1處有極大值，且a＞0，則

a+4

3a

＞1，即0＜a＜2．
（1）當(dāng)

a+4

3a

＜2，即

4

5

＜a＜2時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1）上單調(diào)遞增；
x∈（1，

a+4

3a

）時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

a+4

3a

）上單調(diào)遞減；
x∈（

a+4

3a

，2）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在[

a+4

3a

，2]上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)

a+4

3a

≥2，即0＜a≤

4

5

時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，2]上單調(diào)遞減．
（II）由于f（x）為[-2，2]上的奇函數(shù)，從而b=0，從而f（x）=ax³+cx，
要使得任意的x∈[-2，2]恒有|f（x）|≤2，則只需任意的x∈[0，2]時(shí)|f（x）|≤2恒成立．
顯然要使得c取最大值，則c＞0．
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，則當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增．由于任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，則只需f（2）=8a+2c≤2，從而c≤1-4a≤1，即c的最大可能值為1．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，則f′（x）=3ax²+c，令3ax²+c=0，x=±

-c 3a

．
i）當(dāng)

-c 3a

≥2時(shí)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，恒有f′（x）≥0，故f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增．要使得任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，則只需f（2）=8a+2c≤2，從而c≤1-4a．
考慮到

c -3a

≥2，即-4a≤

c

3

，從而c≤1+

c

3

，故c≤

3

2

，即c的最大可能值為

3

2

．
ii）當(dāng)0＜

c -3a

＜2時(shí)，則當(dāng)x∈[0，

c -3a

]時(shí)，有f′（x）≥0；當(dāng)x∈[

c -3a

，2]時(shí)，有f'（x）≤0，從而f（x）在[0，

c -3a

]上單調(diào)遞增，在[

c -3a

，2]上單調(diào)遞減，故要使得任意的x∈[0，2]恒有|f（x）|≤2，則只需f(

c -3a

)=

2c

3

c -3a

≤2，且f（2）=8a+2c≥-2
即c³≤-27a，且0＜-a≤

1+c

4

，故c3≤

1

4

+

c

4

，即（c-3）（4c²+12c+9）=（c-3）（2c+3）²≤0
故c≤3，即c的最大可能值為3．
由上述可知，c的最大可能值為3．下面我們?cè)僮C明c=3是可取的，令f（x）=-x³+3x，x∈[-2，2]，則f′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1），則當(dāng)f′（x）≥0時(shí)有-1≤x≤1，故f（x）在[-2，-1]單調(diào)遞減，在[-1，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，故f_max=max{f（-2），f（1）}=max{2，2}=2，f_min=min{f（-1），f（2）}=min{-2，-2}=-2
從而任意的x∈[-2，2]恒有|f（x）|≤2成立．
綜合上述，實(shí)數(shù)c的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：考查的知識(shí)點(diǎn)有：利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)的奇偶性．要注意的是，根據(jù)函數(shù)在x=1處有極大值，變得到導(dǎo)函數(shù)的另一零點(diǎn)大于1．對(duì)于第二問，求c的最大值，先求關(guān)于a，c的不等式．根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)于函數(shù)在[-2，2]恒有|f（x）|≤2，只需滿足在[0，2]有|f（x）|≤2即可．