Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+

1

x

（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））的圖象為c₁，c₁關(guān)于點(diǎn)A（2，1）的對稱圖象為c₂，c₂對應(yīng)的函數(shù)為g（x）．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式，并確定其定義域；
（2）若直線y=b與c₂只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的值，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)g（x）圖象上任一點(diǎn)P（x，y）以及P關(guān)于A（2，1）的對稱點(diǎn)P'（x'，y'），根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的性質(zhì)，用p的坐標(biāo)表示P'的坐標(biāo)，再把P'的坐標(biāo)代入f（x）的解析式進(jìn)行整理，求出g（x）解析式；
（2）對x進(jìn)行分類討論，利用基本不等式求出函數(shù)g（x）的最值，從而求出b的值和交點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)函數(shù)g（x）的圖象上任一點(diǎn)P（x，y），且P關(guān)于A（2，1）的對稱點(diǎn)P'（x'，y'）；
則

x+x′ 2 =2 y+y′ 2 =1

，解得

x′=4-x y′=2-y

，
∵點(diǎn)P'在函數(shù)f（x）=x+

1

x

的圖象上，∴2-y=（4-x）+

1

4-x

，
即g（x）=（x-4）+

1

x-4

+2；
（2）當(dāng)x-4＞0時(shí)，即x＞4，（x+4）+

1

x-4

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取“=”；
此時(shí)g（x）取到最小值4，
∵直線y=b與C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴b=4，且交點(diǎn)坐標(biāo)是（5，4）；
當(dāng)x-4＜0時(shí)，即x＜4，-[（x-4）+

1

x-4

]≥2，即（x-4）+

1

x-4

≤-2，
此時(shí)g（x）取到最大值0，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取“=”；
∵直線y=b與C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴b=0，且交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）；
綜上，b的值及交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4，（5，4）或0，（3，0）．

點(diǎn)評：本題考查了用代入法求函數(shù)的解析式，利用點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，利用基本不等式的性質(zhì)求函數(shù)的最值問題，是有關(guān)函數(shù)的綜合問題．