如圖，正三棱錐A-BCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上．并且
AE
EB
=
CF
FD
=λ（0＜λ＜+∞），設α為異面直線EF與AC所成的角，β為異面直線EF與BD所成的角，則α+β的值是（　�。�
分析：先證明正三棱錐的對棱AC與BD垂直，此結論由線面垂直得來，再由異面直線所成的角的定義，在同一平面內(nèi)找到α與β，最后在三角形中發(fā)現(xiàn)α+β=
π
2
，從而做出正確選擇．
解答：解：如圖，取線段BC上一點H，使
CH
HB
=λ，取BD中點O，連接AO，CO
∵正三棱錐A-BCD中每個側面均為等腰三角形，底面△BCD為正三角形，∴BD⊥AO，BD⊥CO，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC?平面AOC∴BD⊥AC
∵
AE
EB
=λ(λ＞0)，
CH
HB
=λ，∴EH∥AC，∵
CF
FD
=λ(λ＞0)，
CH
HB
=λ，∴HF∥BD
∴∠HEF就是異面直線EF與AC所成的角，∠HFE就是異面直線EF與BD所成的角，∴∠EHF就是異面直線BD與AC所成的角，
∴α=∠HEF，β=∠HFE，∠EHF=90°
∴α+β=
π
2
，
故選C
點評：本題考察了異面直線所成的角的作法和算法，正三棱錐的性質(zhì)，解題時要認真體會將空間問題轉化為平面問題的過程
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：013

如圖．正三棱錐A－BCD中，E是AB上一點，F(xiàn)在棱CD上，并使，設a 為EF與AC所成角，b 為EF與BD所成的角，則a ＋b 等于

[　　]

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：013

如圖．正三棱錐A－BCD中，E是AB上一點，F在棱CD上，并使，設a 為EF與AC所成角，b 為EF與BD所成的角，則a ＋b 等于

[　　]

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數(shù)學 來源：江西省上高二中2009屆高三下學期第七次月考數(shù)學理試題 題型：013

如圖，正三棱錐A－BCD中，點E在棱AB上，點F在棱CD上，且，若異面直線EF和AC所成的角為，則異面直線EF與BD所成的角為

[　　]

A．

B．

C．

D．無法確定

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：正三棱錐A—BCD中，E、F分別在棱AB、AD上，AE∶EB=AF∶FD=1∶2，且·=0，則∠BAC的余弦值為(    )

A.           B.             C.                  D.

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年湖北省襄樊五中高三五月調(diào)考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

如圖，正三棱錐A-BCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上．并且（0＜λ＜+∞），設α為異面直線EF與AC所成的角，β為異面直線EF與BD所成的角，則α+β的值是（ ）

A．
B．
C．
D．與λ的值有關

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