Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，g（x）=ln（e^x-1）-lnx．
（Ⅰ）求證：當(dāng)ax＜x時，f（x）＞0恒成立；
（Ⅱ）若存在x₀＞0，使得f（g（x₀））＞f（x₀），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，討論a≤0時，a＞0時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，再由ax＜x，討論x＞0，x＜0，即可得證；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；構(gòu)造函數(shù)H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；從而由導(dǎo)數(shù)求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）證明∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0；函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，當(dāng)x＞lna時，f′（x）＞0，當(dāng)x＜lna時，f′（x）＜0；
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna）；
當(dāng)ax＜x時，即有x＞0，a＜1，即有f′（x）＞0，f（x）遞增，即f（x）＞f（0）=0；
x＜0，a＞1，即有f′（x）＜0，f（x）遞減，即f（x）＞f（0）=0．
綜上可得，當(dāng)ax＜x時，f（x）＞0恒成立；
（Ⅱ）e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，當(dāng)x＞0時，y=e^x-x-1遞增，
即有e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；
構(gòu)造函數(shù)H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；
故函數(shù)H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則H（x）＞H（0）=0，
則?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
即g（x）＜x在x＞0時恒成立，
當(dāng)a＞1時，e^x-ax-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-a，f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
在（0，lna）上單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜lna時，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），
所以滿足題意的a的取值范圍是（1，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，考查單調(diào)性的運(yùn)用和存在性問題的解法，屬于中檔題．