已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的對稱性和奇偶性；
（2）當(dāng)a=2時，求使g2（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）-f（x），試問F（x）在（0，∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由．
（1）由函數(shù)f（x）=
x-a   (x≥a)
-x+a (x＜a)
可知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱．
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=|x|，顯然是一個偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時，取特殊值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0．
即f（-x）≠
f(x)
-f(x)
，
故函數(shù)f（x）=|x-a|是非奇非偶函數(shù)．
（2）若a=2，且g2（x）f（x）=4x
可得：x2|x-2|=x，得 x=0 或 x|x-2|=1；
因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+
2
，
故所求的集合為{0，1，1+
2
}．
（3）對于 a＞0，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=
(a+1)x-a (0＜x＜a)
(a-1)x+a  (x≥a)

若a＞1時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，a），[a，+∞）上遞增，無最大值；
若a=1時，F(xiàn)（x）=
2x- 1  (x＜1)
 1      (x≥1)
有最大值為1
若0＜a＜1時，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）上遞增，在[a，+∞）上遞減，F(xiàn)（x）有最大值 F（a）=a2；
綜上所述得，當(dāng)0＜a≤1時，函數(shù)F（x）有最大值．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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