Question

已知向量

a

=（cos2x，1），

b

=（1，sin2x），x∈R，函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期：
（2）若f（

a

2

+

π

8

）=

3 2

5

，求cos2a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的解析式，f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）根據(jù)已知條件求出cosα=

3

5

．再利用倍角公式即可得到cos2a的值．

解答： 解：（1）f(x)=

a

•

b

=（cos2x，1）•（1，sin2x）
=cos2x+sin2x
=

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)
=

2

sin(2x+

π

4

)．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）f（

a

2

+

π

8

）=

2

sin(α+

π

2

)
=

2

cosα=

3 2

5

．
則cosα=

3

5

．
∴cos2α=2cos²α-1
=2×

9

25

-1
=-

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，平面向量基本定量，三角函數(shù)恒等變換等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．