Question

如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2米，邊坡的長(zhǎng)為x米、傾角為銳角.
(1)當(dāng)且灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時(shí)，求x的最小正整數(shù)值；
(2)當(dāng)x=2時(shí)，試求灌溉渠的橫截面面積的最大值.

Answer 1

（1）x的最小正整數(shù)值是3.
（2）灌溉渠的橫截面面積的最大值是.

解：由已知得等腰梯形的高為xsin，上底長(zhǎng)為2+2xcos，從而橫截面面積S=(2+2+2xcos)·xsin=x²sincos+2xsin.
(1)當(dāng)時(shí)，面積是(0,+∞)上的增函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，S=3<8；當(dāng)x=3時(shí)，S=. 所以，灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時(shí)，x的最小正整數(shù)值是3.
(2)當(dāng)x=2時(shí)，S=4sincos+4sin，S=4cos²-4sin²+4cos
=4(2cos²+cos-1)=4(2cos-1)·(cos+1)，由S=0及是銳角，得. 當(dāng)0<<時(shí)，S>0，S是增函數(shù)；當(dāng)<<時(shí)，S<0，S是減函數(shù)。所以，當(dāng)=時(shí)，S有最大值.
綜上所述，灌溉渠的橫截面面積的最大值是.