Question

如圖，在三棱錐中，平面平面,，．設(shè)，分別為，中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面;
（Ⅲ）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得過三點(diǎn) ,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在，點(diǎn)是線段中點(diǎn)。

試題分析：（Ⅰ）由中位線直接可得∥，由線面平行的判定定理可直接證得∥平面。（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定定理需證和面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。已知條件中已有，又因?yàn)橐阎�平�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032937189490.png" style="vertical-align:middle;" />平面,，由面面垂直的性質(zhì)定理可得面，有線面垂直可得線線垂直。問題即可得證。（Ⅲ）要使得過三點(diǎn) ,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行，只需證面DEF與面PBC平行即可。根據(jù)面面平行的定理，需證面DEF內(nèi)的兩條相交線都和面PBC平行。第一問中已征得∥平面，根據(jù)第一問的思路，F(xiàn)別為AB的中點(diǎn)，就可同（Ⅰ）證出PF與面PBC平行。
試題解析：證明：
（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以∥．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032937829465.png" style="vertical-align:middle;" />面，面，
所以∥平面．               4分
（Ⅱ）因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032937189490.png" style="vertical-align:middle;" />面, 平面平面=,又平面，，所以面.
所以．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032937236523.png" style="vertical-align:middle;" />，且，
所以面．                   9分
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時，過點(diǎn),,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行．
取中點(diǎn)，連，連.

由（Ⅰ）可知∥平面．
因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以∥．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032938437451.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以∥平面．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032938515627.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面∥平面，
所以平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行．
故當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時，過點(diǎn),,所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行．          14分