精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

點O是梯形ABCD對角線的交點，|AD|=4，|BC|=6，|AB|=2．設(shè)與 $數(shù)學公式$ 同向的單位向量為 $數(shù)學公式$ ，與 $數(shù)學公式$ 同向的單位向量為 $數(shù)學公式$ ．
（1）用 $數(shù)學公式$ 和 $數(shù)學公式$ 表示 $數(shù)學公式$ 和 $數(shù)學公式$ ；
（2）若點P在梯形ABCD所在平面上運動，且 $數(shù)學公式$ ，求 $數(shù)學公式$ 的最大值和最小值．

解：（1）由題意知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =6 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ；
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ -6 $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ；
∵AD∥BC，∴|OA|：|OC|=|AD|：|BC|=2：3，
則 $\text{[math]}$ （6 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
（2）由題意知點P是在以點C為圓心，3為半徑的圓周上運動，
所以由幾何意義即得 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值分別應(yīng)該為8和4．
分析：（1）根據(jù)點O是梯形ABCD對角線的交點，以及向量加減法的三角形法則和共線向量定理，即可求得結(jié)果；
（2）由題意知點P是在以點C為圓心，3為半徑的圓周上運動，根據(jù) $\text{[math]}$ 的幾何意義即可求得其最大值和最小值．
點評：此題屬于中檔題．考查向量加法的三角形法則和平面向量基本定理，注意用已知向量表示未知向量時，把要求的向量放到封閉圖形中解決，以及點圓位置關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，同時考查了學生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運算能力．

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