Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一個零點，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=1-

4

an

(n∈N*)，定義所有滿足c_m•c_m+1＜0的正整數(shù)m的個數(shù)，稱為這個數(shù)列{c_n}的變號數(shù)，求數(shù)列{c_n}的變號數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一個零點可通過△=a²-4a=0求出a值，從而求得S_n=n²-4n+4，最后根據(jù)通項與前n項和的關(guān)系求解．
（Ⅱ）將（I）的結(jié)論代入，可得cn=

-3(n=1) 1- 4 2n-5 (n≥2，n∈N*)

根據(jù)c_m•c_m+1＜0可知，當n≥5時，恒有a_n＞0，前四項求出，則易得變號的數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）依題意，△=a²-4a=0?a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x²-4x+4
∴S_n=n²-4n+4
當n=1時，a₁=S₁=1-4+4=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5
∴an=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

（6分）
（Ⅱ）由題設(shè)cn=

-3(n=1) 1- 4 2n-5 (n≥2，n∈N*)

由1-

1

2n-5

=

2n-9

2n-5

＞0可知，
當n≥5時，恒有a_n＞0（8分）
又c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，c4=-

1

3

即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，c₄•c₅＜0
所以，數(shù)列{c_n}共有三個變號數(shù)，即變號數(shù)為3．（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了函數(shù)的零點，數(shù)列的通項與前n項和間的關(guān)系，以及構(gòu)造數(shù)列，研究其性質(zhì)等問題，綜合性較強，屬中檔題．