Question

在△ABC中，頂點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動點(diǎn)D、E滿足：
①

DA

+

DB

+

DC

=

0

；
②|

EC

|=

3

|

EA

|=

3

|

EB

|；
③

DE

與

AB

共線．
（1）求△ABC頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，只要該圓的切線與頂點(diǎn)C的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，就一定有

OM

•

ON

=0？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)C（x，y），求出D，E的坐標(biāo)，利用|

EC

|=

3

|

EA

|得△ABC頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）分類討論，設(shè)其方程為y=kx+m，代入橢圓的方程，利用

OM

•

ON

=0，直線MN：y=kx+m與圓x²+y²=r²相切，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)C（x，y），由

DA

+

DB

+

DC

=

0

得，動點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

x

3

，

y

3

）；
由|

EA

|=|

EB

|得，動點(diǎn)E在y軸上，再結(jié)合

DE

與

AB

共線共線，得動點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，

y

3

）；                 
由|

EC

|=

3

|

EA

|得

x2+(y- y 3 )2

=

3

•

1+ y2 9

，整理得

y2

27

+

x2

3

=1．
因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，所以y≠0，
故△ABC頂點(diǎn)C的軌跡方程為得

y2

27

+

x2

3

=1（y≠0）．
（2）假設(shè)存在這樣的圓，其方程為x²+y²=r²（r＞0），
當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，代入橢圓的方程，
得（k²+9）x²+2kmx+m²-27=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2km

k2+9

，x₁x₂=

m2-27

k2+9

x₁由

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴得m2=

27

10

(k2+1)．…9分
又直線MN：y=kx+m與圓x²+y²=r²相切知：r=

|m|

1+k2

．
所以r²=

27

10

，即存在圓x²+y²=

27

10

滿足題意；
當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得x₁=x₂=

27 10

，y₁=-y₂=

27 10

滿足

OM

•

ON

=0．
綜上所述：存在圓x²+y²=

27

10

滿足題意．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．