Question

給出下列四個(gè)結(jié)論：
（1）方程x²+y²-2x-1=0表示的是圓；
（2）動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；
（3）點(diǎn)M與點(diǎn)F（0，-2）的距離比它到直線l：y-3=0的距離小1的軌跡方程是x²=-8y；
（4）若雙曲線

x2

4

+

y2

k

=1的離心率為e，且1＜e＜2，則k的取值范圍是k∈（-12，0）；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式判斷（1）；由橢圓的定義判斷（2）；由拋物線的定義求解方程判斷（3）；由雙曲線離心率的求法判斷（4）．

解答： 解：（1）方程x²+y²-2x-1=0可化為（x-1）²+y²=2，表示的是圓，命題（1）正確；
（2）動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長，設(shè)兩定點(diǎn)的距離為2c，定長為2a，若2a＞2c，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；
若2a=2c，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段；若2a＜2c，在實(shí)平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不表示任何圖形．命題（2）錯(cuò)誤；
（3）由拋物線的定義可知，點(diǎn)M與點(diǎn)F（0，-2）的距離比它到直線l：y-3=0的距離小1的軌跡方程是x²=-8y，命題（3）正確；
（4）∵

x2

4

+

y2

k

=1表示雙曲線，則k＜0，a=2，b=

-k

，c=

4-k

，
∴雙曲線的離心率e=

4-k

2

，由1＜e＜2，得-12＜k＜0．
∴k的取值范圍是（-12，0），命題（4）正確．
∴正確的命題是（1）（3）（4）．
故答案為：（1）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了圓錐曲線定義及其性質(zhì)，是中檔題．