Question

如圖，正三棱錐S-ABC中，底面的邊長是3，棱錐的側面積等于底面積的2倍，M是BC的中點．
求：（1）

AM

SM

的值；
（2）二面角S-BC-A的大小；
（3）正三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）證明知，AM與SM分別是同底的兩個三角形的高，故兩線段長度的比即它們相應三角形面積的比，由棱錐的側面積等于底面積的2倍，三個側面面積相等，易得兩三角形的面積比．
（2）由（1）知，角SMA即二面角S-BC-A的平面角，故在三角形SMA中求解即可；
（3）由圖形及（1）（2）的證明直接求出底面積與高用體積公式求體積即可求得體積．

解答：解：（1）∵SB=SC，AB=AC，M為BC的中點，
∴SM⊥BC，AM⊥BC．
由棱錐的側面積等于底面積的2倍，即
3×

1

2

BC×SM=2×

1

2

BC×AM，得

AM

SM

=

3

2

．
（2）作正三棱錐的高SG，
則G為正三角形ABC的中心，G在AM上，GM=

1

3

AM．
∵SM⊥BC，AM⊥BC，
∴∠SMA是二面角S-BC-A的平面角．
在Rt△SGM中，
∵SM=

2

3

AM=

2

3

×3GM=2GM，
∴∠SMA=∠SMG=60°，
即二面角S-BC-A的大小為60°．
（3）∵△ABC的邊長是3，
∴AM=

3 3

2

，GM=

3

2

，SG=GMtan60°=

3

2

•

3

=

3

2

．
∴V_S-ABC=

1

3

S_△ABC•SG=

1

3

•

9 3

4

•

3

2

=

9 3

8

．

點評：本題的考點是棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查根據(jù)幾何體的幾何特征求二面角，求體積的能力，立體幾何中求體積的題，其求解規(guī)律都是先研究幾何體的形狀，再根據(jù)幾何特征選擇求解的公式．故研究其幾何特征是正確求解的關鍵．