Question

中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F₁（0，5

2

）的橢圓被直線y=3x-2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是

1

2

，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出a²-b²=50，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．

解答：解：設(shè)橢圓：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），則a²-b²=50①
又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點(diǎn)（x₀，y₀）
∵x₀=

1

2

，∴y₀=

3

2

-2=-

1

2

由

y 2 1 a2 + x 2 1 b2 =1 y 2 2 a2 + x 2 2 b2 =1

?

y 2 1 - y 2 2

a2

=-

x 2 1 - x 2 2

b2

?kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

a2

b2

•

x0

y0

=3?a2=3b2②
解①，②得：a²⁼75，b²=25，
故橢圓的方程為：

y2

75

+

x2

25

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等．