Question

（1）已知點(diǎn)B（6，0）和C（-6，0），過點(diǎn)B的直線l與過點(diǎn)C的直線m相交于點(diǎn)A，設(shè)直線l的斜率為k₁，直線m的斜率為k₂，如果k1•k2=-

4

9

，求點(diǎn)A的軌跡．
（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在△ABC中，∠A的外角平分線AD與邊BC的延長線相交于點(diǎn)D，則

BD

DC

=

AB

AC

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，y），用直線的斜率公式將k₁、k₂表示為關(guān)于x、y的式子，結(jié)合題意建立關(guān)系式，化簡可得點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除長軸端點(diǎn)除外）．
（2）分別在△ACD、△ABD中根據(jù)正弦定理列式，再將所得的式子相除并利用比例的性質(zhì)，可得

BD

DC

=

AB

AC

成立．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），可得直線的斜率為k₁=

y

x-6

，
直線m的斜率為k₂=

y

x+6

，
結(jié)合題意可得

y

x-6

•

y

x+6

=-

4

9

，整理得

x2

36

+

y2

16

=1 (x≠±6)
所以點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除長軸端點(diǎn)除外）．
（2）設(shè)∠CAD=∠DAE=β，
在△ACD中，由正弦定理得

DC

sinβ

=

AC

sin∠D

…①，
在△ABD中，由正弦定理得

BD

sin∠BAD

=

AB

sin∠D

，即

BD

sin∠β

=

AB

sin∠D

…②①②兩式相除，可得

BD

DC

=

AB

AC

，結(jié)論成立．

點(diǎn)評：本題著重考查了動點(diǎn)軌跡方程的求法、直線的斜率公式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用正弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．